· Εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση

Στοιχεία θεωρίας συνόλων (πεπερασμένα, αριθμήσιμα, υπερ-αριθμήσιμα σύνολα). Το σύστημα R των πραγματικών αριθμών ως βασική μαθηματική δομή πλήρως διατεταγμένου σώματος με την Αρχιμήδεια ιδιότητα. Πραγματικές ακολουθίες, υπακολουθίες, άνω και κάτω όριο πραγματικής ακολουθίας, σύγκλιση πραγματικής ακολουθίας, πραγματικές σειρές και εφαρμογές. Το σύστημα C των μιγαδικών αριθμών ως βασική μαθηματική δομή διανυσματικού χώρου με εσωτερικό γινόμενο και επαγόμενη στάθμη (Ευκλείδιος χώρος).

Ορισμός μετρικής συνάρτησης και μετρικού χώρου. Tοπολογία μετρικών χώρων (γειτονιά σημείου, εσωτερικά και οριακά σημεία ως προς δοθέν σύνολο, ανοιχτά και κλειστά σύνολα, μετρικός υπόχωρος). Διάμετρος συνόλου, απόσταση σημείου και συνόλου από δοθέν σύνολο, φραγμένα σύνολα, συμπαγή σύνολα, τέλεια σύνολα, συνεκτικά σύνολα. Συμπαγή υποσύνολα Ευκλείδιων μετρικών χώρων Rn. Σύγκλιση ακολουθίας σημείων σε μετρικό χώρο, όρια υπακολουθιών, κριτήριο Cauchy, πληρότητα μετρικού χώρου. Όρια και συνέχεια συνάρτησης από έναν μετρικό χώρο σε άλλον. Ομοιομορφισμοί και ισομετρίες μεταξύ μετρικών χώρων. Συνέχεια συναρτήσεων σε συμπαγή σύνολα και ομοιόμορφη συνέχεια. Μεγιστοποίηση/ελαχιστοποίηση συνεχών συναρτήσεων, κυρτότητα και εφαρμογές. Ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων.

Εισαγωγή στη θεωρία διανυσματικών χώρων με μετρική επαγόμενη από στάθμη ή εσωτερικό γινόμενο. Παραδείγματα Ευκλείδιων χώρων, χώροι Banach, χώροι Hilbert. Γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων με στάθμη, δυϊκός χώρος. Εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης κατά Riemann-Stieltjes και κατά Lebesgue.

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

· Rudin, W. (2000): Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως, Εκδόσεις Leader Books, Αθήνα.

· Καρυοφύλλης, X.  (1995): Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη.

· Τ. Μ. Αpostol (1974): Mathematical Analysis, 2^nd  Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

· A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin (1975): Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc.

· H. L. Royden (1968): Real Analysis, 2^nd Edition, Macmillan Publishing Company, Inc.

· W. Rudin (1974): Real and Complex Analysis, 2^nd Edition, McGraw-Hill, Inc.