Περιγραφή των επιμέρους μαθημάτων:

• Τίτλος του μαθήματος

Θεωρία Πιθανοτήτων

• Κωδικός αριθμός του μαθήματος

6116

• Μαθησιακά αποτελέσματα του μαθήματος

Μετά από επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα πρέπει να είναι ικανοί:

• να καθορίζουν τον χώρο πιθανότητας τυχαίου πειράματος με υπερ-αριθμήσιμο σύνολο στοιχειωδών ενδεχομένων,
• να εφαρμόζουν προχωρημένο λογισμό πιθανοτήτων ενδεχομένων σύμφωνα με τα αξιώματα Kolmogorov σε δεδομένο χώρο πιθανότητας,
• να διαχειρίζονται τυχαίες μεταβλητές ως μετρήσιμες συναρτήσεις που απεικονίζουν δεδομένο χώρο πιθανότητας στην πραγματική ευθεία Borel,
• να προσδιορίζουν τον τύπο μιας τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με το είδος της κατανομής πιθανότητας που επάγει (διακριτή, απολύτως συνεχής, ιδιότυπη συνεχής, ανάμικτη) στην πραγματική ευθεία Borel,
• να υπολογίζουν την μαθηματική ελπίδα δεδομένης τυχαίας μεταβλητής ως Lebesgue ολοκλήρωμα στην ευθεία Borel ως προς την επαγόμενη κατανομή πιθανότητας,
• να διακρίνουν μεταξύ των δυνατών ειδών σύγκλισης (σχεδόν βέβαιη, κατά πιθανότητα, κατά τετραγωνική μέση απόκλιση, κατά κατανομή) ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών,
• να εφαρμόζουν τους Νόμους Μεγάλων Αριθμών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα.

• Τρόπος παράδοσης

Διαλέξεις με φυσική παρουσία στην αίθουσα διδασκαλίας.

• Προ-απαιτούμενα και συν-απαιτούμενα

Παρακολούθηση και γνώση του περιεχομένου των μαθημάτων:

Μαθηματικός Λογισμός-Ι, Μαθηματικός Λογισμός-ΙΙ, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία Κατανομών, Εισαγωγή στη Μαθηματική Ανάλυση

Εισαγωγή στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης με Αναφορές στη Θεωρία Πιθανοτήτων.

• Περιεχόμενα του μαθήματος

Αναγκαιότητα της μετρησιμότητας για την θεμελίωση της έννοιας του ενδεχομένου και της πιθανότητας αυτού. σ-άλγεβρα ενδεχομένων, χώρος πιθανοτήτων, Borel μετρήσιμα σύνολα. Θεώρημα επέκτασης μέτρου πιθανότητας από ημι-άλγεβρα στην παραγόμενη πλήρη σ-άλγεβρα Caratheodory-Lebesgue ενδεχομένων ως προς το αντίστοιχο εξωτερικό μέτρο. Τυχαίες μεταβλητές ως Borel μετρήσιμες συναρτήσεις, στοχαστική ανεξαρτησία, λήμμα Borel-Cantelli, συνέχεια μέτρου πιθανότητας, 0-1 νόμος Kolmogorov. Ολοκλήρωση τυχαίας μεταβλητής ως προς μέτρο πιθανότητας, μαθηματική ελπίδα, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, ανισότητες Markov-Chebychev, νόμοι μεγάλων αριθμών (ασθενής και ισχυρός), λήμμα Fatou, θεώρημα κυριαρχούμενης σύγκλισης, θεώρημα σύγκλισης υπό συνθήκη ομοιόμορφης ολοκληρωσιμότητας. Κατανομές τυχαίων μεταβλητών ως επαγόμενα μέτρα πιθανότητας, θεώρημα αλλαγής μεταβλητής, κατανομή συνέλιξης ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, χώρος γινομένου, θεώρημα Fubini. Ασθενής σύγκλιση, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, κεντρικό οριακό θεώρημα. Lebesgue αποσύνδεση μέτρου πιθανότητας, θεώρημα Radon-Nikodym, δεσμευμένη πιθανότητα και δεσμευμένη μαθηματική ελπίδα.

• Συνιστώμενη ή απαιτούμενη βιβλιογραφία προς μελέτη

o Ρούσσας, Γ. Γ. (1992): Θεωρία Πιθανοτήτων,

o Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη. ΕΥΔΟΞΟΣ: Κωδικός 11057.

o Καλπαζίδου, Σ. (2002): Στοιχεία Μετροθεωρίας Πιθανοτήτων,

o Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη. ΕΥΔΟΞΟΣ: Κωδικός 11379.

o Rosenthal, J. S. (2006, 2^nd Edition): A First Look at Rigorous Probability Theory,

o World Scientific, Singapore.

o Billingsley, P. (1995, 3^rd Edition): Probability and Measure, John Wiley & Sons, New York.

o Roussas, G.G. (2005): An Introduction to Measure-Theoretic Probability,

o Elsevier Academic Press.

o Chung, K.-L. (1974): A Course in Probability Theory, Academic Press, San Diego.

o Durrett, R. (1996): Probability: theory and examples, Duxbury, Belmont.

• Σχεδιασμένες μαθησιακές δραστηριότητες και διδακτικές μέθοδοι

Αναθέσεις Ασκήσεων – Φροντιστήρια Ασκήσεων

• Μέθοδοι αξιολόγησης και κριτήρια

Γραπτή εξέταση