Τίτλος: Παρουσίαση Διδακτορικής Διατριβής, "Hyperbolic SPDEs- Analytical and Numerical Study using Wiener Chaos Approach"
Ομιλητής: Ευαγγελία Καλπινέλλη, Υποψήφια διδάκτορας του Τμήματος Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Ημερομηνία: 28 Σεπτεμβρίου 2011
Ώρα: 16:30
Αίθουσα: 607, 6ος όροφος, Κτίριο Ευελπίδων
Περίληψη
Στο πρώτο μέρος της διατριβής κατασκευάζουμε λύσεις μίας ευρείας οικογένειας υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Οι λύσεις αυτές ανήκουν στην κατηγορία των μεταβολικών λύσεων και κατασκευάζονται σαν ανάπτυγμα σε σειρά Fourier με συντελεστές που υπολογίζονται λύνοντας ένα απειροδιάστατο σύστημα ντετερμινιστικών διαφορικών εξισώσεων, γνωστό και ως Διαδότη.
Αποδεικνύεται ότι η λύση της αρχικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης συνδέεται με την λύση του ντετερμινιστικού συστήματος με μία σχέση ισοδυναμίας, σε κατάλληλα επιλεγμένους χώρους Wiener με βάρος. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες που μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin καθώς και λύσεων σε χώρους Hida-Kondratiev.
Στο δεύτερο μέρος, προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σύστημα με βάση το ανάπτυγμα σε Wiener Chaos για την επίλυση υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos παράγεται ο Διαδότης σαν ένα απειροδιάστατο σύστημα ντετερμινιστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, το οποίο στη συνέχεια περικόπτεται με σκοπό να καταλήξουμε εν τέλει σε ένα πεπερασμένης διάστασης ντετερμινιστικό σύστημα, που μπορεί να αντιμετωπιστεί με συνήθεις τεχνικές. Εν συνεχεία, παρέχονται a priori και a posteriori αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλισή της μεθόδου. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόζεται για την επίλυση του υποδείγματος των Heath-Jarrow-Morton για τα επιτόκια υπό την παραμετροποίηση κατά Musiela και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που παράγονται με τη μέθοδο Monte Carlo. Το κύριο πλεονέκτημα του προτεινόμενου αριθμητικού σχήματος είναι ότι είναι σημαντικά ταχύτερο από την μέθοδο Monte Carlo (MC), για το ίδιο επίπεδο ακριβείας. Τέλος, μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos μπορούν άμεσα να υπολογιστούν αριθμητικά και άλλες στατιστικές ποσότητες, όπως οι ροπές της λύσης.